Il ruolo del sistema di Rayleigh-Bènard nella comprensione della complessità

In una precedente nota (il Caos Management n.109), abbiamo posto l’accento sul circolo virtuoso esistente tra una migliore comprensione della complessità e lo sviluppo della Teoria dei Sistemi Dinamici, la disciplina della matematica applicata che pone le basi teoriche per la costruzione dei modelli matematici dei sistemi reali evidenziandone le proprietà anche mediante concetti di geometria qualitativa. Nell’attivazione di tale circolo ha avuto un ruolo centrale l’analisi dell’instabilità di Rayleigh-Bènard, un fenomeno della Dinamica dei Fluidi che prende il nome dai fisici H. Bénard (1874 – 1939) che per primo ne eseguì una sperimentazione di laboratorio nel 1900, e W. Strutt (1842 – 1919), Barone di Rayleigh, che ne diede una interpretazione fisica corretta nel 1916.

In natura, tale instabilità ha diversi riscontri ma è in Meteorologia la sua manifestazione più nota. Infatti, è un evento che esibisce normalmente anche l’atmosfera terrestre quando una massa d’aria si muove su una superficie regolare relativamente più calda come può essere quella di un oceano; a causa del divario termico, l’aria si destabilizza e forma una distesa di celle convettive. Sulle foto da satellite dell’Europa, una tale formazione di celle, il cui tracciante è costituito dai cosiddetti “cumuli di bel tempo”, è spesso visibile nella parte posteriore del fronte freddo che di solito spazza l’oceano Nord-Atlantico in direzione sud-est verso le coste inglesi, francesi e spagnole. Sulla terraferma, in considerazione delle irregolarità del terreno, le celle si deformano e perdono l’identità. La distesa di celle ha una organizzazione spaziale che, vista dall’alto, forma un reticolato di celle esagonali proprio come i favi delle api (per inciso, l’esagono è la figura geometrica tendente al cerchio – maggior area a parità di perimetro – che riempie uniformemente un piano, cioè senza lasciare spazi vuoti).

Una simulazione di laboratorio può essere eseguita con un fluido in un contenitore posto tra due piastre mantenute a temperature diverse (più alta per la piastra inferiore). Le forze esterne agenti sul fluido sono il divario termico a cui è sottoposto e il campo gravitazionale terrestre. Naturalmente, ci si aspetta che il sistema tenda sempre ad assecondare tale divario assumendo opportune configurazioni dinamiche. Allora, illustriamo qualitativamente il comportamento del fluido al crescere guidato del divario termico che, pertanto, assume il ruolo di parametro di controllo. Si riscontra la seguente fenomenologia, laddove la dinamica è guidata, oltre che dall’azione delle forze esterne e dai parametri strutturali (dimensioni del contenitore), dalle caratteristiche intrinseche del fluido, quali viscosità e densità:

•      al di sotto di un primo valore critico del divario termico, il fit ambientale è conservato attraverso la diffusione termica (conduzione) dalla zona più calda verso quella più fredda;

•      appena al di sopra di tale valore critico, il processo diffusivo non è più sufficiente a garantire lo smaltimento dell’eccesso di gradiente che si forma in vicinanza delle piastre e ciò, insieme ad un profilo verticale della densità divenuto gravitazionalmente instabile, fa vincere la resistenza opposta dalla viscosità del fluido e conduce, al termine di un transitorio in cui avvengono fluttuazioni anche forti, ad un movimento permanente convettivo che si struttura in celle regolari. Tale movimento convettivo, su più prove ripetute, occorre con eguale frequenza in due modalità simmetriche (oraria e antioraria). La modalità è ogni volta decisa da una fluttuazione casuale;

•      se il divario termico viene accresciuto oltre un secondo valore critico, il movimento si presenta nella forma di “rotoli” paralleli e, per valori crescenti, è prima irregolare con impulsi, poi turbolento, aleatorio.

Quindi, esistono dei valori critici del divario termico all’approssimarsi di ciascuno dei quali un regime dinamico stabile si infrange e, dopo una fase transitoria altamente stocastica, ne compare uno nuovo. La prima caratteristica che si osserva è l’autonomia: la pressione ambientale non “causa” un “effetto” diretto sul sistema ma ne attiva unicamente i processi interni reattivi e i regimi stabili hanno uno schema organizzativo che, pur riflettendo alcune caratteristiche del forcing e delle condizioni al contorno (simmetrie, ecc.), è “progettato” e “implementato” dal sistema stesso secondo tempi e modalità proprie. La seconda caratteristica è l’emergenza: tali schemi vengono implementati nella forma di rete di processi sinergici che non sono direttamente riconducibili alle interconnessioni tra gli elementi ma risultano “proprietà emergenti” di una struttura relazionale interna distribuita su diverse scale spaziali e temporali. Se un tale sistema venisse isolato, la struttura, nella sua forma organizzata in celle convettive, si disgregherebbe, in quanto la natura tende a “dissipare” ogni forma di organizzazione (legge statistica dell’aumento dell’entropia). Ciò significa che la struttura si sostiene assorbendo “organizzazione” dall’ambiente esterno (in genere si parla di “assorbimento di neghentropia”, l’entropia negativa). È una necessità propria delle strutture dinamiche; infatti, quando si isola una struttura statica, ad esempio un cristallo di ghiaccio, l’organizzazione perdura nel tempo grazie alle forze intermolecolari.

In sintesi. Abbiamo un sistema collettivo aperto che, sotto l’azione di una sollecitazione ambientale critica, dopo una serie di fluttuazioni esplorative, si autorganizza reimplementando una serie di processi che, “alimentandosi” dall’ambiente, garantiscono il compimento efficace delle funzioni “fisiologiche”: la stabilità dinamica e la rigenerazione continua dell’organizzazione (autopoiesi), avverso l’ineluttabile dissipazione naturale. Come i viventi, esegue autonomamente le funzioni vitali e in più esibisce processi di autorganizzazione vera, al pari delle comunità di viventi. Inoltre, nell’intervallo di valori del parametro di controllo in cui la convezione è irregolare, il sistema, al variare del parametro, si riposiziona in uno stato metastabile cioè critico: è sufficiente una flebile perturbazione per modificare (di poco) lo schema organizzativo. l’intervallo di valori in cui avviene ciò è denominato edge of chaos e nei singoli viventi garantisce la stabilità “nel divenire” della struttura (omeostasi).

Quindi, il sistema di Rayleigh-Bènard racchiude tutte le peculiarità della complessità e, al contempo, se ne conosce una descrizione completa; per questi motivi, gli studiosi delle più diverse discipline lo hanno assunto come metafora della complessità (per sottolinearne l’aspetto interdisciplinare, abbiamo utilizzato i termini “omeostasi” e “autopoiesi” introdotti rispettivamente dai fisiologi C. Bernard e W. B. Cannon e dai biologi H. Maturana e F. Varela. Il termine “autorganizzazione” sembra sia stato coniato dallo psichiatra W. R. Ashby, pioniere e divulgatore della Cibernetica).

Ma il sistema di Rayleigh-Benàrd, oltre ad aver condotto ad una migliore comprensione della complessità, ha anche  costituito la pietra angolare su cui si è edificata la moderna Teoria dei Sistemi Dinamici.

Il sistema di Rayleigh-Benàrd è suscettibile di una trattazione matematica rigorosa attraverso le equazioni della Fluidodinamica. Fatte alcune approssimazioni, Rayleigh ne ipotizzò una particolare soluzione stazionaria. Nel 1962, il matematico B. Saltzman ne propose una versione con 52 variabili. La risoluzione computazionale di tale modello evidenziò che solo tre variabili dominavano la dinamica del sistema. Allora, nello stesso anno, il matematico meteorologo E. N. Lorenz selezionò, pragmaticamente, le tre variabili da lui ritenute fondamentali e ne derivò il suo famoso toy model.

Naturalmente, il modello di Lorenz, essendo estremamente semplificato, non descriveva dettagliatamente l’instabilità, tuttavia ne evidenziava gli aspetti salienti (in ciò facilitato dalla disponibilità dei primi computer): in particolare, gli attrattori e i repulsori (i regimi di equilibrio stabile e instabile) che si formavano successivamente alle instabilità strutturali (le riorganizzazioni) provocate dal superamento dei valori critici del divario termico.

Lorenz ottenne che, per un certo valore del parametro di controllo, il modello mostrava un attrattore puntuale corrispondente al trasporto diffusivo (la conduzione). Al crescere del parametro, l’attrattore puntuale diventava un repulsore affiancato da due attrattori puntuali, corrispondenti alle celle convettive esagonali, nelle due possibili rotazioni, oraria e antioraria. Incrementando ancora il parametro di controllo, si raggiungeva un valore critico (ormai divenuto famoso) per il quale i precedenti tre punti erano tutti repulsori e il modello esibiva un insieme “attraente”, corrispondente alle celle convettive irregolari, costituito da una serie di curve chiuse (soluzioni periodiche) intervallate, a qualunque risoluzione, da curve aperte (soluzioni non periodiche).

Lorenz aveva scoperto che i modelli non lineari, per particolari valori di uno o più parametri descrittivi, sono affetti da error sensitivity ovvero cambiando pochissimo le condizioni iniziali si ottengono previsioni completamente differenti (situazioni “caotiche”). Tecnicamente, l’attrattore di Lorenz è definito strano (o caotico) e frattale (di dimensione geometrica frazionaria). Anni dopo, nel 1972, invitato a presentare tali risultati durante la conferenza annuale dell’American Association for the Advancement of Science, non avendo comunicato il titolo della relazione, il chairman la presentò come “Does the flap of a butterfly’s wings in Brazil set off a tornado in Texas”. Nasceva così il butterfly effect e, in considerazione dei tempi, ne iniziava anche la vita mediatica (libri, film, musica, pittura, fotografia, talk show, ecc.).

L’evidenza, dimostrata da Lorenz, delle “stranezze” di alcune soluzioni del sistema di Rayleigh-Benàrd ha dato nuovo impulso alla Teoria dei Sistemi Dinamici, in particolare, con i risultati ottenuti da A. N. Kolmogorov, V. A. Pliss e V. I. Arnold. Quest’ultimo va ricordato, oltre che l’efficace sistemazione teorica e generalizzazione della Teoria, per l’estensione ai Random Dynamical Systems, importantissimi per l’analisi dei fenomeni complessi.

Una considerazione. I risultati di Lorenz costituivano la verifica computazionale delle ipotesi formulate nell’ambito della Teoria dei Sistemi Dinamici dai matematici A. M. Lyapunov (1857 – 1918), J. H. Poincarè (1854 – 1912) e G. D. Birckoff (1884 – 1944). Tuttavia, come accade in tutti i processi evolutivi, anche per il pensiero scientifico è valido il principio darwiniano “caso-necessità”: infatti, le problematiche evidenziate da Poincarè e gli altri notevoli risultati ottenuti nella prima parte del ‘900 rimasero confinati negli ambiti accademici e condivisi da pochi colleghi perché mal si adattavano all’approccio meccanicistico e tecnocratico che la rivoluzione industriale richiedeva. La Meccanica rispondeva pienamente all’esigenza di progettare e realizzare le macchine e, pertanto, le problematiche legate alla limitata predicibilità venivano liquidate nella fiducia la placiana che affinamenti successivi dei processi di misura avrebbero eliminato le incertezze evolutive. Inoltre, era difficile dimostrare idee così particolari senza l’ausilio del supporto informatico. Tutt’altra accoglienza ebbe la riproposizione di Lorenz in una epoca, come quella del secondo ‘900, di profonde riflessioni sia sul Metodo scientifico che sui limiti alla conoscenza della realtà. Le enunciazioni della Teoria della Relatività di Einstein, della Teoria dei Quanti di Planck-Eisemberg e le dimostrazioni di Godel sulla soggettività ed incompletezza delle strutture matematiche, che erano rimaste anch’esse confinate negli ambienti accademici, nel secondo ‘900 cominciavano ad avere anche un impatto sulla società, sull’industria, sull’economia e, quindi, ispiravano l’interesse dei media.

In conclusione, premessa la circolarità virtuosa tra una migliore comprensione della complessità e lo sviluppo della Teoria dei Sistemi Dinamici, abbiamo voluto evidenziare l’importanza epistemologica e metodologica di un frequente evento meteorologico, quale è la formazione delle celle di Rayleigh-Bènard, sia per i fenomeni della complessità, di cui ne è una riconosciuta metafora, che per la Teoria dei Sistemi Dinamici, della quale è stata un fondamentale case study.